tag:blogger.com,1999:blog-73708961603285060082024-03-08T11:08:52.011-08:00บทที่ 5ps2505http://www.blogger.com/profile/16136913459345302970noreply@blogger.comBlogger2125tag:blogger.com,1999:blog-7370896160328506008.post-11673190613239883132011-10-25T21:27:00.000-07:002011-10-25T21:27:09.202-07:00ความรู้เกี่ยวกับตัว i<b>ความรู้เกี่ยวกับตัว i</b><br />
<strong><b>จำนวนเชิงซ้อน</b> ในทาง<a href="http://www.blogger.com/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C" title="คณิตศาสตร์"><span style="color: #0645ad;">คณิตศาสตร์</span></a> คือ เซตที่ต่อเติมจากเซตของ<a href="http://www.blogger.com/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%87" title="จำนวนจริง"><span style="color: #0645ad;">จำนวนจริง</span></a>โดยเพิ่มจำนวน <span class="texhtml" dir="ltr"><i>i</i></span> ซึ่งทำให้สมการ <span class="texhtml" dir="ltr"><i>i</i><sup><span style="font-size: x-small;">2</span></sup> + 1 = 0</span> เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่นๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน <span class="texhtml" dir="ltr"><i>z</i></span> ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป <span class="texhtml" dir="ltr"><i>x</i> + <i>i</i><i>y</i></span> โดยที่ <span class="texhtml" dir="ltr"><i>x</i></span> และ <span class="texhtml" dir="ltr"><i>y</i></span> เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก <span class="texhtml" dir="ltr"><i>x</i></span> และ <span class="texhtml" dir="ltr"><i>y</i></span> ว่า<a href="http://www.blogger.com/wiki/%E0%B8%AA%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%87" title="ส่วนจริง"><span style="color: #0645ad;">ส่วนจริง</span></a>และ<a href="http://www.blogger.com/wiki/%E0%B8%AA%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E" title="ส่วนจินตภาพ"><span style="color: #0645ad;">ส่วนจินตภาพ</span></a>ของ <span class="texhtml" dir="ltr"><i>z</i></span> ตามลำดับ<br />
เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ <img alt="\mathbb{C}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/8/4/f/84feda6433ec704f8ff2098173f9413f.png" /> จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใดๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จำเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็น<a class="new" href="http://www.blogger.com/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%B5%E0%B8%A5%E0%B8%94%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" title="ฟีลด์ (หน้านี้ไม่มี)"><span style="color: #ba0000;">ฟีลด์</span></a> นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ <a href="http://www.blogger.com/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%B8%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%A1" title="พหุนาม"><span style="color: #0645ad;">พหุนาม</span></a>ที่มี<a href="http://www.blogger.com/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B9%8C" title="สัมประสิทธิ์"><span style="color: #0645ad;">สัมประสิทธิ์</span></a>เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมี<a class="new" href="http://www.blogger.com/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%81_(%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%B8%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%A1)&action=edit&redlink=1" title="ราก (พหุนาม) (หน้านี้ไม่มี)"><span style="color: #ba0000;">ราก (พหุนาม)</span></a>เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อ<a href="http://www.blogger.com/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B8%8A%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95" title="ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต"><span style="color: #0645ad;">ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต</span></a><br />
นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า "เชิงซ้อน" ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น <a class="new" href="http://www.blogger.com/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%84%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%B0%E0%B8%AB%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" title="การวิเคราะห์เชิงซ้อน (หน้านี้ไม่มี)"><span style="color: #ba0000;">การวิเคราะห์เชิงซ้อน</span></a>, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น</strong>ps2505http://www.blogger.com/profile/16136913459345302970noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7370896160328506008.post-18157595980692202672011-10-25T20:12:00.000-07:002011-10-25T21:30:38.466-07:00ความรู้เบื้องต้นจำนวนเชิงซ้อน<span class="mw-headline" id=".E0.B8.9F.E0.B8.B5.E0.B8.A5.E0.B8.94.E0.B9.8C.E0.B8.82.E0.B8.AD.E0.B8.87.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B9.80.E0.B8.8A.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.8B.E0.B9.89.E0.B8.AD.E0.B8.99">ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน</span><br />
ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน <img alt="\mathbb{C}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/8/4/f/84feda6433ec704f8ff2098173f9413f.png" /> ประกอบด้วยเซตของคู่ลำดับ <span class="texhtml" dir="ltr">(<i>a</i>,<i>b</i>)</span> ทั้งหมดโดยที่ <span class="texhtml" dir="ltr"><i>a</i></span> และ <span class="texhtml" dir="ltr"><i>b</i></span> เป็นจำนวนจริง และ<a href="http://www.blogger.com/wiki/%E0%B8%9B%E0%B8%8F%E0%B8%B4%E0%B8%9A%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3" title="ปฏิบัติการ"><span style="color: #0645ad;">ปฏิบัติการ</span></a>สองตัวคือ <span class="texhtml" dir="ltr">+</span> (การบวก) และ <img alt="\cdot" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/3/6/f/36f8ae4c86b69d52d037a6802d91cc4a.png" /> (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้<br />
ให้ <span class="texhtml" dir="ltr">(<i>a</i>,<i>b</i>)</span> และ <span class="texhtml" dir="ltr">(<i>c</i>,<i>d</i>)</span> เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ<br />
<dl><dd><img alt="(a,b)+(c,d) = (a+c, b+d) \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/3/3/b/33b8b6fb038db17167e1bcd8dfad4b39.png" /></dd><dd><img alt="(a,b)\cdot(c,d) = (ac-bd, ad+bc) \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/a/2/1/a218fb6937eaa7e8a59be2372ea75c77.png" /></dd></dl>เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง<br />
เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็น<a class="new" href="http://www.blogger.com/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%B5%E0%B8%A5%E0%B8%94%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" title="ฟีลด์ (หน้านี้ไม่มี)"><span style="color: #ba0000;">ฟีลด์</span></a> กล่าวคือ<br />
<ul><li>การบวกและการคูณมีสมบัติปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง</li>
<li>มีเอกลักษณ์การบวกคือ <span class="texhtml" dir="ltr">(0,0)</span></li>
<li>มีเอกลักษณ์การคูณคือ <span class="texhtml" dir="ltr">(1,0)</span></li>
<li>อินเวอร์สการบวกของ <span class="texhtml" dir="ltr"><i>z</i> = (<i>a</i>,<i>b</i>)</span> (เขียนแทนด้วย <span class="texhtml" dir="ltr">− <i>z</i></span>) คือ (-a,-b)</li>
<li>ถ้าหาก <img alt="z = (a,b) \neq (0,0)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/0/8/d/08da3cd29e53b4be50331c8cb280fcfc.png" /> อินเวอร์สการคูณของ <span class="texhtml" dir="ltr"><i>z</i></span> (เขียนแทนด้วย <span class="texhtml" dir="ltr"><i>z</i> <sup><span style="font-size: x-small;">− 1</span></sup></span>) คือ <img alt="\left( \frac{a}{a^2 + b^2}, \frac{-b}{a^2 + b^2} \right)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/f/4/1/f41a4190ac851119826dbda78ed9ba5c.png" /></li>
</ul><h3><span class="editsection">[<a href="http://www.blogger.com/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&section=3" title="แก้ไขส่วน: จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม"><span style="color: #0645ad;">แก้</span></a>]</span> <span class="mw-headline" id=".E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B9.80.E0.B8.8A.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.8B.E0.B9.89.E0.B8.AD.E0.B8.99.E0.B9.83.E0.B8.99.E0.B8.90.E0.B8.B2.E0.B8.99.E0.B8.B0.E0.B8.9B.E0.B8.A3.E0.B8.B4.E0.B8.A0.E0.B8.B9.E0.B8.A1.E0.B8.B4.E0.B9.80.E0.B8.A7.E0.B8.81.E0.B9.80.E0.B8.95.E0.B8.AD.E0.B8.A3.E0.B9.8C.E0.B9.81.E0.B8.A5.E0.B8.B0.E0.B8.9F.E0.B8.B5.E0.B8.A5.E0.B8.94.E0.B9.8C.E0.B8.95.E0.B9.88.E0.B8.AD.E0.B9.80.E0.B8.95.E0.B8.B4.E0.B8.A1">จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม</span></h3>อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็น<a class="new" href="http://www.blogger.com/w/index.php?title=%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B9%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A7%E0%B8%81%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" title="ปริภูมิเวกเตอร์ (หน้านี้ไม่มี)"><span style="color: #ba0000;">ปริภูมิเวกเตอร์</span></a>สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วย<a href="http://www.blogger.com/wiki/%E0%B8%AA%E0%B9%80%E0%B8%81%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%8C" title="สเกลาร์"><span style="color: #0645ad;">สเกลาร์</span></a>สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้<br />
<dl><dd><img alt="c(a,b) = (ca,cb) = (a,b)c \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/7/c/b/7cbecaee6b976a2ffde96a927487addb.png" /> เมื่อ <span class="texhtml" dir="ltr"><i>c</i></span> เป็นจำนวนจริงและ <span class="texhtml" dir="ltr">(<i>a</i>,<i>b</i>)</span> เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ</dd></dl>ด้วยเหตุนี้เราได้ว่า<a class="new" href="http://www.blogger.com/w/index.php?title=%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%81&action=edit&redlink=1" title="ฐานหลัก (หน้านี้ไม่มี)"><span style="color: #ba0000;">ฐานหลัก</span></a>หนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์ <span class="texhtml" dir="ltr">(1,0)</span> และ <span class="texhtml" dir="ltr">(0,1)</span> กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของ<a href="http://www.blogger.com/wiki/%E0%B8%9C%E0%B8%A5%E0%B8%A3%E0%B8%A7%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B9%89%E0%B8%99" title="ผลรวมเชิงเส้น"><span style="color: #0645ad;">ผลรวมเชิงเส้น</span></a>ของเวกเตอร์ทั้งสอง:<br />
<dl><dd><img alt=" (a,b) = a(1,0) + b(0,1) \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/e/d/c/edcddae60b9a1282fa964f218abba7dd.png" /></dd></dl>ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ <span class="texhtml" dir="ltr">(<i>a</i>,0) = <i>a</i>(1,0)</span> ว่าเป็นจำนวนจริง <span class="texhtml" dir="ltr"><i>a</i></span> (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ <span class="texhtml" dir="ltr"><i>i</i></span> แทน <span class="texhtml" dir="ltr">(0,1)</span> จำนวนเชิงซ้อน <span class="texhtml" dir="ltr">(<i>a</i>,<i>b</i>)</span> จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า <span class="texhtml" dir="ltr"><i>a</i> + <i>b</i><i>i</i></span> ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ<br />
จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า <span class="texhtml" dir="ltr"><i>i</i><sup><span style="font-size: x-small;">2</span></sup> = ( − 1,0) = − 1</span> นั่นคือ <span class="texhtml" dir="ltr"><i>i</i></span> เป็นคำตอบของสมการ <span class="texhtml" dir="ltr"><i>x</i><sup><span style="font-size: x-small;">2</span></sup> + 1 = 0</span> ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็น<a class="new" href="http://www.blogger.com/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%B5%E0%B8%A5%E0%B8%94%E0%B9%8C%E0%B8%95%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%A1&action=edit&redlink=1" title="ฟีลด์ต่อเติม (หน้านี้ไม่มี)"><span style="color: #ba0000;">ฟีลด์ต่อเติม</span></a> (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่ม<a class="new" href="http://www.blogger.com/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%81&action=edit&redlink=1" title="ราก (หน้านี้ไม่มี)"><span style="color: #ba0000;">ราก</span></a>ของพหุนาม <span class="texhtml" dir="ltr"><i>x</i><sup><span style="font-size: x-small;">2</span></sup> + 1</span> อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือ<a class="new" href="http://www.blogger.com/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%9C%E0%B8%A5%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%A3&action=edit&redlink=1" title="ริงผลหาร (หน้านี้ไม่มี)"><span style="color: #ba0000;">ริงผลหาร</span></a> (quotient ring) ของ<a class="new" href="http://www.blogger.com/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%B8%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%A1&action=edit&redlink=1" title="ริงพหุนาม (หน้านี้ไม่มี)"><span style="color: #ba0000;">ริงพหุนาม</span></a> <img alt="\mathbb{R}[x]" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/d/3/0/d30c4d8a82d45c0e3a53461a45ca72b5.png" /> กับ<a class="new" href="http://www.blogger.com/w/index.php?title=%E0%B9%84%E0%B8%AD%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A5&action=edit&redlink=1" title="ไอดีล (หน้านี้ไม่มี)"><span style="color: #ba0000;">ไอดีล</span></a> <span class="texhtml" dir="ltr">(<i>x</i><sup><span style="font-size: x-small;">2</span></sup> + 1)</span> เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า<br />
<dl><dd><img alt="\mathbb{C} = \mathbb{R}[x]/(x^2+1)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/5/a/c/5ac3abb6998c787c5115e49600c4e3b8.png" /></dd></dl><h2><span class="editsection">[<a href="http://www.blogger.com/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&section=4" title="แก้ไขส่วน: สัญลักษณ์และคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง"><span style="color: #0645ad;">แก้</span></a>]</span> <span class="mw-headline" id=".E0.B8.AA.E0.B8.B1.E0.B8.8D.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.81.E0.B8.A9.E0.B8.93.E0.B9.8C.E0.B9.81.E0.B8.A5.E0.B8.B0.E0.B8.84.E0.B8.B3.E0.B8.A8.E0.B8.B1.E0.B8.9E.E0.B8.97.E0.B9.8C.E0.B8.97.E0.B8.B5.E0.B9.88.E0.B9.80.E0.B8.81.E0.B8.B5.E0.B9.88.E0.B8.A2.E0.B8.A7.E0.B8.82.E0.B9.89.E0.B8.AD.E0.B8.87">สัญลักษณ์และคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง</span></h2><h3><span class="editsection">[<a href="http://www.blogger.com/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&section=5" title="แก้ไขส่วน: ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ"><span style="color: #0645ad;">แก้</span></a>]</span> <span class="mw-headline" id=".E0.B8.AA.E0.B9.88.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B8.88.E0.B8.A3.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B9.81.E0.B8.A5.E0.B8.B0.E0.B8.AA.E0.B9.88.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B8.88.E0.B8.B4.E0.B8.99.E0.B8.95.E0.B8.A0.E0.B8.B2.E0.B8.9E">ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ</span></h3>ถ้า <img alt="z = a+bi \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/c/8/f/c8f108b4a79b84dfe27791394b3088cf.png" /> เราเรียก <span class="texhtml" dir="ltr"><i>a</i></span> ว่า <i>ส่วนจริง</i> ของ <span class="texhtml" dir="ltr"><i>z</i></span> เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ <img alt="\Re(z)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/7/1/7/7173d638353117f1981cb37ca93ee4b2.png" /> และเราเรียก <span class="texhtml" dir="ltr"><i>b</i></span> ว่า <i>ส่วนจินตภาพ</i> ของ <span class="texhtml" dir="ltr"><i>z</i></span> เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ <img alt="\Im(z)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/9/2/9/929a3652f17ec97093a6a5e8679c9f10.png" /> เราเรียกจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 ว่า<a href="http://www.blogger.com/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E" title="จำนวนจินตภาพ"><span style="color: #0645ad;">จำนวนจินตภาพ</span></a><br />
<h3><span class="editsection">[<a href="http://www.blogger.com/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&section=6" title="แก้ไขส่วน: สังยุคเชิงซ้อน"><span style="color: #0645ad;">แก้</span></a>]</span> <span class="mw-headline" id=".E0.B8.AA.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B8.A2.E0.B8.B8.E0.B8.84.E0.B9.80.E0.B8.8A.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.8B.E0.B9.89.E0.B8.AD.E0.B8.99">สังยุคเชิงซ้อน</span></h3>ถ้า <img alt="z=a+bi\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/c/8/f/c8f108b4a79b84dfe27791394b3088cf.png" /> เป็นจำนวนเชิงซ้อน สังยุคของ <span class="texhtml" dir="ltr"><i>z</i></span> คือ <img alt="a-bi\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/9/9/2/9929715bfea2f38edefa3161ba3e72a0.png" /> เราเขียนแทนสังยุคของ <span class="texhtml" dir="ltr"><i>z</i></span> ด้วย <img alt="\bar{z}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/5/0/0/50041ea29dedb15e50625fe5a8955b15.png" /> สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญๆ ดังต่อไปนี้<br />
<ol><li><img alt="\overline{z_{1}+z_{2}}=\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/8/7/b/87b68d881cba26a3ce81964f72dd4bd1.png" /></li>
<li><img alt="\overline{z_{1}z_{2}}=\bar{z}_{1}\bar{z}_{2}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/1/1/4/114240fd01b381dd9e068b275ccb0fb9.png" /></li>
<li><img alt="z + \bar{z} = 2\Re(z)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/e/7/5/e7569b32c71567f6f8deac1cd494f5af.png" /></li>
<li><img alt="z - \bar{z} = 2\Im(z)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/e/f/a/efa58e02d3eee9be75194469ba846663.png" /></li>
</ol>เมื่อ <span class="texhtml" dir="ltr"><i>z</i></span>, <span class="texhtml" dir="ltr"><i>z</i><sub><span style="font-size: x-small;">1</span></sub></span>, <span class="texhtml" dir="ltr"><i>z</i><sub><span style="font-size: x-small;">2</span></sub></span> เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ<br />
<h3><span class="editsection">[<a href="http://www.blogger.com/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&section=7" title="แก้ไขส่วน: ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน"><span style="color: #0645ad;">แก้</span></a>]</span> <span class="mw-headline" id=".E0.B8.82.E0.B8.99.E0.B8.B2.E0.B8.94.E0.B8.82.E0.B8.AD.E0.B8.87.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B9.80.E0.B8.8A.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.8B.E0.B9.89.E0.B8.AD.E0.B8.99">ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน</span></h3><i>ขนาด</i>ของจำนวนเชิงซ้อน <img alt="z=a+bi \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/c/8/f/c8f108b4a79b84dfe27791394b3088cf.png" /> เขียนแทนด้วย <span class="texhtml" dir="ltr">| <i>z</i> |</span> คือจำนวนจริงบวก <img alt="\sqrt{a^2 + b^2}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/0/2/4/024f4462a4e41e4fa529e87b5c71612c.png" /> เราอาจแปลความหมายของขนาดของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่าเป็นความยาวของเส้นตรงที่ลากจากจุด (0,0) ไปยังจุด (a,b) บน<a class="new" href="http://www.blogger.com/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%9A%E0%B8%84%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" title="ระนาบคาร์ทีเชียน (หน้านี้ไม่มี)"><span style="color: #ba0000;">ระนาบคาร์ทีเชียน</span></a> ขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญๆ ดังต่อไปนี้<br />
<ol><li><img alt="\left|z\right\vert=\left|\bar z\right\vert" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/e/7/6/e767e3ba0364db80c8232ef910609f90.png" /></li>
<li><img alt="\left|z\right\vert^2=z \bar{z}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/5/1/4/5141283461a3123594356ad825737744.png" /></li>
<li><img alt="\left|z_1z_2\right\vert=\left|z_1\right\vert\left|z_2\right\vert" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/4/d/e/4deb6bbeb46a4cb4b320d4c2c0537cb3.png" /></li>
<li><img alt="\left|z_1+z_2\right\vert\le\;\left|z_1\right\vert+\left|z_2\right\vert" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/f/3/5/f35c62c0ee79a02f6cac247c19ad7a93.png" /> (<a class="new" href="http://www.blogger.com/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AA%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A2%E0%B8%A1&action=edit&redlink=1" title="อสมการสามเหลี่ยม (หน้านี้ไม่มี)"><span style="color: #ba0000;">อสมการสามเหลี่ยม</span></a>)</li>
<li><img alt="\left|z_1-z_2\right\vert\ge\;\big|\left|z_1\right\vert-\left|z_2\right\vert\big|" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/e/7/d/e7d0c6ac1fc2f05f83a3035c85432ea2.png" /></li>
<li><img alt="\left|z\right\vert=0" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/1/9/d/19d0e8a091a205eb3fafab7a36ed2116.png" /> ก็ต่อเมื่อ <img alt="z=0\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/c/e/2/ce2ccc0e0ac17ccc26345c70c3cbf45f.png" /></li>
</ol>เมื่อ <span class="texhtml" dir="ltr"><i>z</i></span>, <span class="texhtml" dir="ltr"><i>z</i><sub><span style="font-size: x-small;">1</span></sub></span>, และ <span class="texhtml" dir="ltr"><i>z</i><sub><span style="font-size: x-small;">2</span></sub></span> เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จากสมบัติข้อที่สองและการแทนจำนวนจริง <span class="texhtml" dir="ltr"><i>a</i></span> ด้วยจำนวนเชิงซ้อน <span class="texhtml" dir="ltr">(<i>a</i>,0)</span> ทำให้เราได้ว่าถ้า <img alt="z \neq 0" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/d/3/1/d31ead18171e7708fe647bc27bc3ce77.png" /><br />
<dl><dd><img alt="z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/f/b/7/fb7c3eed708c8df5dc74440ec6a10609.png" /></dd></dl>ps2505http://www.blogger.com/profile/16136913459345302970noreply@blogger.com0