ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน
ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน
![\mathbb{C}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u-azwsiQSA9zsF-ArdPLAt_ftUfL2pylzBGXvGklrdqGDw5VVohs8Lxnwm0A9aBQ9lohTaJqwypLDuMPjmZO_Gf6gxjS-mUHiDFTLHVOBQbpqw7REy60S-4-BIjFGQgUiNdl-E-pdyg8i6lTapEosgXEiqtBb0EkLVCSU=s0-d)
ประกอบด้วยเซตของคู่ลำดับ
(a,b) ทั้งหมดโดยที่
a และ
b เป็นจำนวนจริง และ
ปฏิบัติการสองตัวคือ
+ (การบวก) และ
![\cdot](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uJITNAlI-kusiRqn2f8fkNDp9gYmpAPixLJx9eIou-nFPR04zqsaNG-AoijSrzM8LeLbC-Cpwbzy6xv_kjSdb3NBylo-fEET9gcVdS6dnF-Th5tvcgleOHVWJTbbCxo2rHtjvFPuOpInFJP9hy0s6EEMjFofldH5BMhQ=s0-d)
(การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้
ให้
(a,b) และ
(c,d) เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ
![(a,b)+(c,d) = (a+c, b+d) \,](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vyQ9LjLul-ossNn7FmYxlhg6PWW29IJzZsl_pijqIkxt6mXZnIYZF5CF_nl3U8bP6eI4Vuw7PjcRlQPOXkclaEUrCuXxCTH-HITQ-JGBKwzx_dCpHaSO3IunKiilacgumjxyhoXd7rD_oq3VuHOOFiabu84DpFO8Frt_E=s0-d)
![(a,b)\cdot(c,d) = (ac-bd, ad+bc) \,](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sEBEL6DWNiAcrqCsoV0FDdcIsyIJoFhNMI_p211bD3d8uf6rCSqDj9I_kXp2mbGfmv_OuqPJwolJiX8wi5z4HBHh7LpHo-ZrOFuAb3WmaE7H_76HpdUVqPcfZMrS_mJnxdhqWLXYFu1NENINMCRLspDnVOGWCBNZl8Rhw=s0-d)
เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง
เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็น
ฟีลด์ กล่าวคือ
- การบวกและการคูณมีสมบัติปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง
- มีเอกลักษณ์การบวกคือ (0,0)
- มีเอกลักษณ์การคูณคือ (1,0)
- อินเวอร์สการบวกของ z = (a,b) (เขียนแทนด้วย − z) คือ (-a,-b)
- ถ้าหาก
อินเวอร์สการคูณของ z (เขียนแทนด้วย z − 1) คือ ![\left( \frac{a}{a^2 + b^2}, \frac{-b}{a^2 + b^2} \right)](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v6R2ztmDT_WlVeQNxGgBl7tbuarRANyR-SVnLiPjo9EsuQrzZTAp-ZOqIKEFSZBrOSs3N7cgia7uVuzMM1YhsSFbIyqV8QqpIrAYn0XVl4-dkHCDVIcQlNmfI5gXtN8akJQeahBTDyDxbPRcO1bkVBmdHePEEnBqJIZ5s=s0-d)
[แก้] จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม
อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็น
ปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วย
สเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้
เมื่อ c เป็นจำนวนจริงและ (a,b) เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ
ด้วยเหตุนี้เราได้ว่า
ฐานหลักหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์
(1,0) และ
(0,1) กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของ
ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:
![(a,b) = a(1,0) + b(0,1) \,](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vqw_OIC3g9tREpJ_dqANJx9mqrRUkA9A7ReWAoeN0mSZYH1tl7hUXfCsU4bcb3dsQ-9iKR163sycXsEz_xXZ9K2GCdEUq7iCA_94LN3zXLGBLnIAggeJdwFiTxDucgD21QOiVzQldspK9cfcXs561O9IGo2BSK4aKqjPY=s0-d)
ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ
(a,0) = a(1,0) ว่าเป็นจำนวนจริง
a (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์
i แทน
(0,1) จำนวนเชิงซ้อน
(a,b) จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า
a + bi ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ
จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า
i2 = ( − 1,0) = − 1 นั่นคือ
i เป็นคำตอบของสมการ
x2 + 1 = 0 ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็น
ฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่ม
รากของพหุนาม
x2 + 1 อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือ
ริงผลหาร (quotient ring) ของ
ริงพหุนาม ![\mathbb{R}[x]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vkxyQXEsTrI_W_E859a21wJWNHLH_srawzp9tnstW9cTtIm8AeGN8JplfJkexVghSJu6lV0ErH9ma-tbRC_clSs4nrcR1_G6okV8bHRVX1rwC1nFNQItnVKelgYv6KyPH1f9iJELYFJpCd2Yyt30FOOtOMrq0DseK4IQ=s0-d)
กับ
ไอดีล (x2 + 1) เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า
![\mathbb{C} = \mathbb{R}[x]/(x^2+1)](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sokFYmtoSzocZeRZQ5rA2Oyuo6zehzAOH_iC_1NCvFxmUuWPgAq_O7xhYzdWJ1s-0BQAYSDQGKxAretIcGsuVjxXxagSyYdvIfaAvzbZEtoOe4piVZJDK4dJ3Te3XVK27p0li1Ru585LEw18RCNAgIMyhvsjhWqQodEj4=s0-d)
[แก้] สัญลักษณ์และคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง
[แก้] ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ
ถ้า
![z = a+bi \,](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tiPRZXJzuiidWm-wOwngI7DikE94ETqy7ZP12FP3VBSWBrBKR9FfR3jnS4_Ovze2qDBNbdBYAVrOnc3HqQ9tkne_WigxA6LTBryKuwBzGJHRq17ZIQMwoYT4_EPXVXm7gbmVtaBm6QFHsXT06BI2CJWc5wnNqbmCbWKg=s0-d)
เราเรียก
a ว่า
ส่วนจริง ของ
z เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
![\Re(z)](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vGScznhwpUYeZ8JCN8hzuiLcn_otQ20kGkMm_C6tHmtNNEwTSobKK6UwM8F_qDySfG1puBIwlS0mrQmv-P5VeFQL3lyYOY-56Gk4UYY-tx1xgwhs0ZdriulR8mwAksrcGtZz4Ns2zY4aJPzYpyhlhq-RAdWUXIoT8nVQw=s0-d)
และเราเรียก
b ว่า
ส่วนจินตภาพ ของ
z เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
![\Im(z)](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vXAlJVqIo1xVyRmocDQ_gJGDrmbZ1m6UBXEFfWs-bZvLZ1_OxtK60yr2OzjyESxH5Gua3Q_LGBJCk4eS_JgpukZqvoG2DSxW-gGpVMB4X9XtqdLqtfKOwQMzX2jOLYtcwx8YTw81DSA0eLERk8ae9fqTyvOzDokl3IX0k=s0-d)
เราเรียกจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 ว่า
จำนวนจินตภาพ
[แก้] สังยุคเชิงซ้อน
ถ้า
![z=a+bi\,](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tiPRZXJzuiidWm-wOwngI7DikE94ETqy7ZP12FP3VBSWBrBKR9FfR3jnS4_Ovze2qDBNbdBYAVrOnc3HqQ9tkne_WigxA6LTBryKuwBzGJHRq17ZIQMwoYT4_EPXVXm7gbmVtaBm6QFHsXT06BI2CJWc5wnNqbmCbWKg=s0-d)
เป็นจำนวนเชิงซ้อน สังยุคของ
z คือ
![a-bi\,](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uEc09s7yWxSvRI3xqmynzevUpDyWtqgj4S0DVDMxN90AALU0tIk9YQYQh-YsZySFqeMYwNna6IwyBZotTGaIbInNJklEoyFBxn-nBoTId9DqbU6OOr3MiUlHd8LNplBGpPvt6Mv1s0h-AK-MArJ_uLa7hCSrkeqjOtoAY=s0-d)
เราเขียนแทนสังยุคของ
z ด้วย
![\bar{z}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uSrflrKMeVqBlmW0dT-83EExSbinlLdr6ZgZ-FswOsSpZcxOI7jY1nmrJqz6U_MJVST7IZnSH2QjqR8urFmEwhnoYQ4SJWI7jlCskRfRqJbTb44oL0Q4pyNHESvrXqAffc0Ua1FsRHKQ98uy70BicxqS9iCqcFINL6464=s0-d)
สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญๆ ดังต่อไปนี้
![\overline{z_{1}+z_{2}}=\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_snoae9Myc635TfzhEzMOc4GKTFWwr1vRXUhdAMO2XyrDMLNzL_kXJ-wh2f_pacKDWh5PIIo-C0-ofF7mdIYL_tiMEl-dT8cdY57zBCZEYZzmusv_c6F_0qm6uiP4Grh7LFDp7feCn-vm8he-oTeKM_ElXVcDRUePOhQtI=s0-d)
![\overline{z_{1}z_{2}}=\bar{z}_{1}\bar{z}_{2}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uVKS9ucDo2GXvtLIN_gV1C-9eFJK4lYX2tuKxRGAHcKRjJ7AZB_kP4tPWOasl5CxX-0Dzy1NFMH6YDI_M4poBBRdcgtUd4T6OSBdSYX1Ii9NDPY9YfWXHhADyZQFPgST5xgXgCrFNc10wGMYfLEWoFQl0ZEMA54Vw2vKw=s0-d)
![z + \bar{z} = 2\Re(z)](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t1IaFhma_X16UI2BREqw-ftg5pbhsiZ8qnwW6n-vDdiLRpfVR6CW1BaBSHMb7xxpSATpByMXFSqmD7DlxdFtyxMJDFk9siMhr_L5m1CA6mnyvUzCr0EV2i4JRtACG8IQ5LFna7ns6iCRR1fM-3uu6jaDArxy3vcY1Xgw=s0-d)
![z - \bar{z} = 2\Im(z)](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s7OSXIk3UK67smSMY86UkMTMTlEexzBMdKm0ZRwO0nFteOhe6XrqaMmzKkBn_btPDWGey3dVHt78LY9Vjtherud3xi_pLndWszm0mrOSz_A7V3EeJxRhVAxfiJ0c0ML5zl-tW_nSR3cBEyyRP9CRuTlaqhpoYoAValBUs=s0-d)
เมื่อ
z,
z1,
z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ
[แก้] ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน
ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน
![z=a+bi \,](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tiPRZXJzuiidWm-wOwngI7DikE94ETqy7ZP12FP3VBSWBrBKR9FfR3jnS4_Ovze2qDBNbdBYAVrOnc3HqQ9tkne_WigxA6LTBryKuwBzGJHRq17ZIQMwoYT4_EPXVXm7gbmVtaBm6QFHsXT06BI2CJWc5wnNqbmCbWKg=s0-d)
เขียนแทนด้วย
| z | คือจำนวนจริงบวก
![\sqrt{a^2 + b^2}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tYDZvqabVlGtbIXtJtbj7EJ5vPpSS7slr-v21wM6HDxxgv0_TBVI5NjokVxh7RUbJicp2laQZwy2n-yO8rKPSoQC_R-JSfp5FjnKtXH47cs8fH2sWqTTeSUCIB_XnENpAhzWg916hFMPZh3AHd2NCgZYm1VkPMUyq6M3Y=s0-d)
เราอาจแปลความหมายของขนาดของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่าเป็นความยาวของเส้นตรงที่ลากจากจุด (0,0) ไปยังจุด (a,b) บน
ระนาบคาร์ทีเชียน ขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญๆ ดังต่อไปนี้
![\left|z\right\vert=\left|\bar z\right\vert](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uWRoTYSZHNnP6uGow_tL4PDKe2-Fxh58Ui6NA0y5bM27j_pEVW5yBpTYlYLyGxsK54F6HoKiZJarF93euaWIlahJmdEY5_wtR9wjZKsnZekYiBZw-Zko03v8JQ-J18EY__TsipCNPIiYeKlGosc8r2VQ154eSpMhRABA=s0-d)
![\left|z\right\vert^2=z \bar{z}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uPmtr0Ia2ZHfaLLyLkKgtnvI-EWyfDixvl53AGcXl_wB8bOJVDo6OVtgvd4K3ZHL7SwfJOH87bx06hStdHYTVQgEpULvsKXLwk1EBWsPBQzwcz8s-iInKQ9iKP-L9rUTrItjVhZJk2b7QByhrfVJZ1icg35_loVkt0D-A=s0-d)
![\left|z_1z_2\right\vert=\left|z_1\right\vert\left|z_2\right\vert](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uAtWW7fFlB67WyueKppHV9Zxr0rF6TM6Hu_DH_qVR22NeORu49BOUsnvYCSGn0ectvPfmL2cSSJjzp1qAlWm3WYSZZTGDJLd-852TNoovYi8SUZ_WmP0yhSHxiVncJbNzsxltbMkDlWjC0Hxm4H967Pp69cqxVhPORnww=s0-d)
(อสมการสามเหลี่ยม)
![\left|z_1-z_2\right\vert\ge\;\big|\left|z_1\right\vert-\left|z_2\right\vert\big|](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sGnTM1sk_TTpXkpP0oAagLO81K7UthpPRA246QURpjOIyYS4_pHRIMNTuyWdrVxWqTjMgaLmmVR9ZhaDkPUeGqxqiJzFw3XJLupuBJ_UfV4kk-nRHZlWZTj0PUBGa1RXGwIZG8bqw1fNm85EJnhysMJkhj6owbxXoFzw=s0-d)
ก็ต่อเมื่อ ![z=0\,](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s_jojHwrNV0DdcMFo-pLdxRsRHheig2Axd8nQT4V2sWFgOi5KowLmAIZhytQWXQ0ifflBlaID9-aQFe3PaWbu8ErExOR0xKj75gqIvHmAnBiZqLbpZDx-zTS4wQ_xVfDI_lnCvDec0lJTJSsByNnByaE1IlraX-VXUDAU=s0-d)
เมื่อ
z,
z1, และ
z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จากสมบัติข้อที่สองและการแทนจำนวนจริง
a ด้วยจำนวนเชิงซ้อน
(a,0) ทำให้เราได้ว่าถ้า
![z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tGpUgNQlzQbQhgA_mpaH1TYE695wMMU9l_4iqAb_t8aPkrnsVdTseYlRAGmb8pYRRFgrhfPT9Ulsxsdflb2g1NJ-SSzdkdmZOoQEbsnW-MtLXwAX50NcWFIX5Xr0iHZWLyv-s_wRleIAPnW34YQT5fxDk8RShxv2kd4ZA=s0-d)